Kmitání (mechanické a elektromagnetické)

Mechanické kmitání

Kinematika kmitavého pohybu
harmonický pohyb: analogie mezi kmitavým pohybem a rovnoměrným pohybem po kružnici
y=y_msinωt
v=ωy_mcosωt
a=-ω²y_msinωt=-ω²y
maximální rychlost je v rovnovážné poloze (y=0)
nulová rychlost je v bodech obratu (y=y_m)
okamžité zrychlení má opačný směr než okamžitá výchylka y
maximální zrychlení je v bodech obratu (y=y_m)
nulové zrychlení je v rovnovážné poloze (y=0)

fáze kmitavého pohybu

y=y_msinω(t+t₀)=y_msin(ωt+ωt₀)=y_msin(ωt+φ₀)
φ₀=ωt₀ - počáteční fáze
fázový rozdíl φ₁-φ₂
pro φ₁-φ₂=2kπ kmitání se stejnou fází
pro φ₁-φ₂=(2k+1)π kmitání s opačnou fází

v=ωy_mcos(ωt+φ₀)=ωy_msin(ωt+φ₀+π/2)
a=-ω²y_msin(ωt+φ₀)=ω²y_msin(ωt+φ₀+π)
fáz. rozdíl y,v: π/2
fáz. rozdíl v,a: π/2
fáz. rozdíl y,a: π

Složené kmitání
princip superpozice
Výsledná poloha tělesa, které současně koná více pohybů, je stejná, jako kdyby pohyby konala po sobě v libovolném pořadí.
y=y₁+y₂+...+y_n
počáteční fáze φ₀=(φ₁+φ₂)/2 (pro 2 kmitání)

rovnice složeného kmitání 2 izochronních kmitání (se stejnou frekvencí a amplitudou)
y₁=y_msin(ωt+φ₁)
y₂=y_msin(ωt+φ₂)
y=y₁+y₂=2y_mcos[(φ₂-φ₁)/2]sin[ωt+(φ₁+φ₂)/2]
amplituda 2y_mcos[(φ₂-φ₁)/2]

Dynamika kmitavého pohybu
F=ma=-mω²y

F_G=F_p
mg=kΔl

F=F_G+F_p=-mg+k(Δl-y)=-mg+kΔl-ky=-ky

-ky=-mω²y
ω²=k/m

kyvadlo: k=mg/l

Přeměny energie v mechanickém oscilátoru
E=E_k+E_p
E_p=½ky² (potenciální energie pružnosti)
E=½mv²+½ky²=½mω²y_m²cos²(ωt+φ₀)+½ky_m²sin²(ωt+φ₀)
ω²=k/m
E=½ky_m²cos²(ωt+φ₀)+½ky_m²sin²(ωt+φ₀)=½ky_m²

Nucené kmitání mechanického oscilátoru
amplituda závisí na frekvenci vnějšího působení



Elektromagnetické kmitání

Při nabití kondenzátoru se mezi deskami vytvoří el. pole. Po připojení k cívce se vybíjí a el. energie se mění na energii magn. pole cívky.


Elektromagnetické kmitání oscilačního obvodu je tlumené (ztráty přeměnou na vnitř. energii)
pro okamžité napětí kondenzátoru platí:
u=U_mcosω₀t
pro okamžitý proud platí:
i=I_mcos(ω₀t-π/2)=I_msinω₀t
(ω₀ - úhlová frekvence vlastního kmitání)

U_C=U_L (napětí na kondenzátoru je rovno napětí na cívce)
X_CI_m=X_LI_m
1/(ω₀C)=ω₀L
ω₀=
T₀=2π (Thomsonův vztah)

Tlumené kmitání není harmonické
ω=
δ=R/(2L)
δ - koeficient útlumu (R - odpor cívky, L - indukčnost cívky)
pokud ω₀<δ, oscilační obvod se vůbec nerozkmitá

Nucené kmitání elektromagnetického oscilátoru

Po připojení oscilačního obvodu ke zdroji harmonického napětí u=U_msinωt kmitá oscilační obvod s frekvencí ω.
Frekvence nezávisí na parametrech oscilačního obvodu (L,C)

Největší amplituda nuceného kmitání pro ω=ω₀

Energie elektromagnetického oscilátoru
v okamžiku, kdy u=U_m, i=0: E=E_e=½CU_m²
v okamžiku, kdy u=0, i=I_m: E=E_m=½LI_m²
E=E_e+E_m=½CU_m²+½LI_m²


Analogie mazi mechanickým a elektromagnetickým oscilátorem

mechanický oscilátor		elektromagnetický oscilátor
okamžitá výchylka	y	okamžitý náboj	q
rychlost	v	okamžitý proud	i
energie potenciální	Ep	energie elektrická	Ee
energie kinetická	Ek	energie magnetická	Em
síla	F	elektrické napětí	u
hmotnost	m	indukčnost	L
tuhost pružiny	k=F/y	reciproká hodnota kapacity	1/C=u/q